O pewnym równaniu różniczkowym z odchylonym argumentem

Abstract

In der vorliegenden Note beweisen wir einen Existenzsatz und einen Satz über die Eindeutigkeit der Lôsungen der Differentialgleichungen (1) und (2), in welchen <5(0 eine reelle, nichtnegative und im Intervall <0, -t-oo) stetige Funktion bezeichnet und 1 ( f )— eine gegebene, stetige und im Intervall (—oo,0> besclirânkte Funktion ist. Das Symbol {ç>}t+a<() bezeichnet eine stetige Funktion 93 (s), die im Intervall s e (— 00, f+<5(f)> definiert ist und im Intervall (— 00, 0> die Identitât 93(s)= I (s) erfullt. Wir bezeichnen mit 0 die Menge der reellen und fur t e (— 00, + 00) stetigen Funktionen 93(f), so daB 93( 0 = ^ ( 0 fur f < 0 gilt, und mit F(f, (<?3}<+a(i)) ein fur aile Paaren (t, <p) e <0, +oo)xd> definiertes Funktional. In der Gleichungen (1) und (2) sind die Funktionen <5(0, 1 ( 0 und der Funktional F (t , d) gegeben; wir suchen die Funktion 93(f). Unter entsprechenden Voraussetzungen beweisen wir, daB es in der Klassed>* (der Funktionen 93(f), welche die Bedingung (3) erfiillen) genau eine Integralkurve der Differentialgleichung (1) gibt (Satz 1). Der Satz 2 betrifft der Existenz und der Eindeutigkeit der Lôsungen der Differentialgleichung (2). AuBerdem beweisen wir (Satz 3), daB die Funktionenfolge {93Mf(0 } (der Lôsungen der Differentialgleichungen (6 )) zur Lôsung 93(f) der Differentialgleichung (1) gleichmaBig im Intervall (—00, + 00) konvergiert.